线性方程组为什么只有唯一解、无解或无穷多解

结论

线性方程组的解只可能有三种情况：

1. 唯一解。
2. 无解。
3. 无穷多解。

不可能刚好有两个解、三个解或有限多个但不止一个解。

核心原因

线性方程组的解集具有线性结构。如果两个不同解都存在，那么连接它们的整条直线上的点也都是解，因此解会变成无穷多个。

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二维线性方程组可以看作直线交点问题：交于一点是唯一解，平行不交是无解，完全重合是无穷多解。

从几何角度理解

二元一次方程组

一个二元一次方程：

$$ax+by=c$$

在平面中表示一条直线。

两个二元一次方程组成的方程组，就是两条直线的交点问题。

两条直线之间只有三种关系：

• 相交于一个点：唯一解。
• 平行不重合：无解。
• 完全重合：无穷多解。

所以二元一次方程组只可能有唯一解、无解或无穷多解。

三元一次方程组

一个三元一次方程：

$$ax+by+cz=d$$

在三维空间中表示一个平面。

多个三元一次方程就是多个平面的交集。

多个平面的交集也只可能是：

• 一个点：唯一解。
• 空集：无解。
• 一条线：无穷多解。
• 一个平面：无穷多解。

不会只出现两个孤立的点。

从代数角度理解

线性方程组可以写成矩阵形式：

$$Ax=b$$

其中：

• $A$ 是系数矩阵。
• $x$ 是未知数向量。
• $b$ 是常数向量。

解方程就是寻找所有满足：

$$Ax=b$$

的向量 $x$。

唯一解

如果方程组约束足够强，每个未知数都被确定下来，那么只有一个解。

例如：

$$\{\begin{array}{l}x+y=3\\ x-y=1\end{array}$$

两式相加：

$$2x=4$$

所以：

$$x=2$$

再代入：

$$y=1$$

解是唯一的：

$$(x,y)=(2,1)$$

几何上，这对应两条直线相交于一个点。

无解

如果方程之间互相矛盾，就没有任何向量能同时满足所有方程。

例如：

$$\{\begin{array}{l}x+y=3\\ x+y=5\end{array}$$

同一个 $x+y$ 不可能既等于 3 又等于 5，所以无解。

几何上，这对应两条平行但不重合的直线。

无穷多解

如果方程约束不足，存在自由变量，就会有无穷多解。

例如：

$$x+y=3$$

这是一个方程，两个未知数。

可以令：

$$x=t$$

那么：

$$y=3-t$$

其中 $t$ 可以取任意实数，所以解为：

$$(x,y)=(t,3-t)$$

这是一整条直线上的无穷多个点。

另一个例子：

$$\{\begin{array}{l}x+y=3\\ 2x+2y=6\end{array}$$

第二个方程只是第一个方程乘以 2，没有提供新的约束，所以仍然是一条直线上的无穷多解。

为什么不可能只有两个解

假设一个线性方程组有两个不同的解：

$$x_1$$

和：

$$x_2$$

它们都满足：

$$A{x}_1=b$$ $$A{x}_2=b$$

那么对任意实数 $t$，考虑：

$$x_t=t{x}_1+(1-t)x_2$$

把它代入方程：

$$A{x}_t=A(t{x}_1+(1-t)x_2)$$

利用矩阵乘法对加法和数乘的分配律：

$$A{x}_t=tA{x}_1+(1-t)A{x}_2$$

因为：

$$A{x}_1=b,A{x}_2=b$$

所以：

$$A{x}_t=tb+(1-t)b=b$$

因此 $x_t$ 也是解。

而 $t$ 可以取无穷多个值，所以只要存在两个不同解，就一定存在无穷多个解。

Note

这就是线性方程组不可能只有两个解、三个解或有限多个不同解的根本原因。

用秩判断解的情况

线性方程组：

$$Ax=b$$

可以用矩阵的秩判断解的情况。

设：

• $r(A)$：系数矩阵的秩。
• $r(A|b)$：增广矩阵的秩。
• $n$：未知数个数。

无解

如果：

$$r(A)<r(A|b)$$

说明常数项 $b$ 带来了新的矛盾约束，方程组无解。

直观理解：左边的方程组合不出右边的结果。

唯一解

如果：

$$r(A)=r(A|b)=n$$

说明方程组一致，并且每个未知数都被确定，方程组有唯一解。

无穷多解

如果：

$$r(A)=r(A|b)<n$$

说明方程组一致，但约束数量不足，存在自由变量，因此有无穷多解。

为什么自由变量会导致无穷多解

如果有 $n$ 个未知数，但只有 $r$ 个独立约束，并且：

$$r<n$$

那么就有：

$$n-r$$

个自由变量。

自由变量可以连续取任意实数，因此解不是有限个点，而是一条线、一个平面或更高维空间中的无穷多个点。

例如：

$$x+y+z=1$$

有 3 个未知数，但只有 1 个独立约束。可以令：

$$y=s,z=t$$

那么：

$$x=1-s-t$$

其中 $s,t$ 都可以任意变化，所以解集是一个平面，有无穷多个解。

和矩阵列空间的关系

方程：

$$Ax=b$$

也可以理解为：$b$ 能不能由 $A$ 的列向量线性组合出来。

如果 $A$ 的列向量是：

$$a_1,a_2,\cdots ,a_n$$

那么：

$$Ax=x_1{a}_1+x_2{a}_2+\cdots +x_n{a}_n$$

所以解方程就是找一组系数 $x_1,\cdots ,x_n$，使这些列向量组合成 $b$。

• 如果 $b$ 不在 $A$ 的列空间中：无解。
• 如果 $b$ 在列空间中，并且组合方式唯一：唯一解。
• 如果 $b$ 在列空间中，但组合方式不唯一：无穷多解。

小结

线性方程组只有三种解的情况：

情况	条件	几何理解
唯一解	$r(A)=r(A	b)=n$
无解	$r(A)<r(A	b)$
无穷多解	$r(A)=r(A	b)<n$

记忆方式

线性方程组的解集要么是空的，要么是一个点，要么是带方向的连续空间。只要出现两个不同解，就会连成一整条线，因此必然有无穷多解。